Am Abend vor der Matheklausur liegt eine Funktion vor dir, und gefragt sind ihre Schnittpunkte mit der x-Achse. Dafür setzt du den Funktionsterm gleich null, aber bei einem Bruchterm ist nicht jede gefundene Lösung auch erlaubt.
Die passende Methode hängt von der Form des Funktionsterms ab
- Start: Setze f(x) = 0 und forme die Gleichung passend um.
- Produkt: Bei einer faktorisierten Funktion hilft der Nullproduktsatz.
- Quadratisch: Für x² + px + q = 0 passt die pq-Formel; bei ax² + bx + c = 0 kannst du die Mitternachtsformel verwenden.
- Bruchterm: Prüfe jede gefundene Lösung im ursprünglichen Nenner.
- Probe: Setze die Lösungen in den ursprünglichen Funktionsterm ein.
Der erste Schritt ist f(x) = 0, doch nicht jede Lösung zählt
Eine Nullstelle ist ein x-Wert, für den der Funktionswert null ist. Bei einer Geraden wie f(x) = 2x − 6 stellst du die Gleichung nach x um und erhältst die Nullstelle x = 3. Der Schnittpunkt mit der x-Achse lautet dann N(3|0).
Ist der Term bereits in Faktoren zerlegt, geht es oft schneller: Bei f(x) = (x − 4)(x + 2) muss mindestens ein Faktor null sein. Die Lösungen sind x = 4 und x = −2; diese Regel heißt Nullproduktsatz.
| Situation | Wahrscheinlicher Knackpunkt | Was du tust |
|---|---|---|
| Ein Produkt steht gleich null | Die einzelnen Faktoren liefern mögliche Lösungen. | Setze jeden variablen Faktor einzeln gleich null. |
| Vor x² steht ein Faktor a ≠ 1 | Die pq-Formel passt noch nicht zur Gleichung. | Teile die gesamte Gleichung durch a oder nutze die Mitternachtsformel. |
| Die Funktion enthält einen Bruch | Ein Kandidat kann den Nenner null machen. | Schließe solche Werte aus dem Definitionsbereich aus. |
| Unter einer Quadratwurzel steht eine negative Zahl | Es gibt keine reelle Lösung aus diesem Rechenweg. | Prüfe, ob reelle Nullstellen gefragt sind oder komplexe Lösungen behandelt werden. |
Bei Aufgaben mit mehreren Rechenschritten halte ich die Probe im Originalterm für den besten Schutz vor einem Vorzeichenfehler. Gerade bei Brüchen kann eine scheinbar passende Lösung an der Definitionsmenge scheitern.
Bei quadratischen Funktionen entscheidet die Form über die Formel
Eine quadratische Gleichung kann zwei, eine oder keine reelle Nullstelle haben. Für x² + px + q = 0 verwendest du die pq-Formel; bei ax² + bx + c = 0 ist die Mitternachtsformel direkt anwendbar, auch wenn a nicht 1 ist.
Zum Beispiel lässt sich 2x² − 8x + 6 = 0 zunächst durch 2 vereinfachen. Es entsteht x² − 4x + 3 = 0, also (x − 1)(x − 3) = 0. Damit sind die Nullstellen x = 1 und x = 3, und die Faktorisierung zeigt das Ergebnis direkt.
Bei der pq-Formel verrät der Ausdruck unter der Wurzel, wie viele reelle Lösungen herauskommen: Ist er positiv, gibt es zwei; bei null fallen beide Lösungen zusammen; bei einem negativen Wert gibt es keine reelle Nullstelle. Die Unterscheidung bezieht sich auf reelle Zahlen, nicht auf mögliche komplexe Lösungen.
Eine häufige Fehlerquelle sind die Vorzeichen von p und q nach dem Umformen. Für x² − 4x + 3 = 0 gilt etwa p = −4 und q = 3; das Minus gehört zu p. Serlo stellt die pq-Formel als Spezialfall der quadratischen Lösungsformel dar, wenn der Koeffizient vor x² gleich 1 ist.
Ein gekürzter Bruch kann eine scheinbare Nullstelle verstecken
Betrachte f(x) = (x² − 9)/(x − 3). Der Zähler wird bei x = 3 und x = −3 null, doch x = 3 ist im ursprünglichen Term nicht erlaubt, weil dann auch der Nenner null wird.
Nach dem Kürzen sieht der Ausdruck wie x + 3 aus. Das macht x = −3 zur gültigen Nullstelle, bringt aber x = 3 nicht zurück: Dieser Wert war schon im ursprünglichen Funktionsterm ausgeschlossen. Der Bruch hat daher genau eine reelle Nullstelle, x = −3.
Ich würde bei gebrochenrationalen Funktionen die Definitionsmenge gleich zu Beginn notieren. So bleibt der ausgeschlossene Wert sichtbar, auch wenn sich der Term später vereinfacht.
Der Grad begrenzt die Zahl der möglichen Nullstellen
Bei einer Polynomfunktion vom Grad n gibt es höchstens n reelle Nullstellen. Eine Funktion dritten Grades kann also bis zu drei davon haben, muss aber nicht drei Schnittpunkte mit der x-Achse besitzen.
Serlo erklärt außerdem, dass es keine allgemeine Nullstellenformel gibt, die jede Polynomfunktion beliebigen Grades löst. Deshalb suchst du zuerst nach einer günstigen Struktur: Ausklammern, bekannte binomische Formeln oder eine Substitution können den Term in einfachere Teile zerlegen. Ist eine Nullstelle bekannt, hilft bei passenden Aufgaben auch die Polynomdivision.
Ein Beispiel ist f(x) = (x − 2)²(x + 1). Die Nullstellen sind x = 2 und x = −1; bei x = 2 liegt eine doppelte Nullstelle vor. Der Graph berührt dort die x-Achse, während er sie bei x = −1 durchquert.
Mit einer kurzen Probe wird aus dem Ergebnis eine sichere Lösung
Schreibe am Ende die Nullstellen als x-Werte auf und unterscheide sie bei Bedarf von den Schnittpunkten N(x|0). Setze jeden Kandidaten in den ursprünglichen Funktionsterm ein, nicht bloß in eine gekürzte oder umgeformte Variante.
Ergibt der Funktionsterm null und ist der Wert im Definitionsbereich erlaubt, passt die Lösung. Bleibt bei einer quadratischen Funktion unter der Wurzel ein negativer Wert, notiere für den reellen Zahlenbereich, dass es keine reellen Nullstellen gibt. Die entscheidende Reihenfolge lautet also: Gleichung auf null setzen, passende Methode wählen, Definitionsbereich prüfen und einsetzen.
