Am Abend vor der Klausur steht im Skript das Integral ∫x·ex dx, und plötzlich ist unklar, welcher Faktor abgeleitet werden soll. Die partielle Integration hilft meist, wenn dabei ein einfacheres Integral entsteht, aber die Wahl der Faktoren entscheidet über den Rechenweg.
Der Erfolg hängt davon ab, ob das Restintegral einfacher wird
- Formel: ∫u·dv = u·v − ∫v·du.
- Wahl von u: Nimm bevorzugt den Faktor, dessen Ableitung einfacher wird.
- LIATE: Die Reihenfolge hilft beim Start, entscheidet aber nicht automatisch richtig.
- Wiederholung: Bei ex·cos(x) erscheint das ursprüngliche Integral wieder und lässt sich algebraisch isolieren.
Die Produktregel liefert die Formel für zwei Faktoren
Ein Produkt lässt sich oft schwer direkt integrieren. Die Produktregel für Ableitungen schafft einen Umweg: Aus (u·v)' = u'·v + u·v' folgt durch Umstellen und Integrieren die Regel ∫u·dv = u·v − ∫v·du.
„Partiell“ bedeutet hier, dass ein Teil des Produkts abgeleitet und der andere integriert wird. Der neue Ausdruck hilft nur, wenn das Restintegral ∫v·du leichter zu lösen ist als das ursprüngliche. Sonst hat sich die Rechnung bloß verlängert.
Bei einem unbestimmten Integral gehört am Ende eine Integrationskonstante + C dazu. Beim bestimmten Integral kommt stattdessen der Randterm [u·v]ab hinzu; damit verändert sich auch, was du beim Einsetzen beachten musst.
LIATE ist eine Starthilfe, keine starre Vorschrift
Bei der Wahl von u geraten viele ins Grübeln. Die Merkhilfe LIATE ordnet typische Faktoren: logarithmisch, invers trigonometrisch, algebraisch, trigonometrisch, exponentiell. Der Faktor, der weiter vorn steht, ist häufig ein guter Kandidat für u.
Häufig, aber nicht ausnahmslos. OpenStax beschreibt LIATE als Hilfe gegen das Rätselraten und weist darauf hin, dass die Wahl manchmal Ausprobieren erfordert. Ich würde deshalb zuerst prüfen, ob die Ableitung von u einfacher wird und sich dv leicht integrieren lässt; die Buchstabenfolge kommt erst danach.
Ein kurzer Gegencheck verhindert viele Umwege: Wird das Restintegral komplizierter, probiere die Faktoren andersherum oder prüfe, ob eine andere Methode passt. Bei ∫ln(x) dx ist zum Beispiel kein sichtbares Produkt vorhanden, aber ln(x)·1 lässt sich partiell integrieren. Der scheinbar fehlende Faktor ist also die Eins.
Bei e hoch x mal cos x musst du zweimal integrieren
Manchmal wird der Ausdruck nach dem ersten Schritt nicht einfacher. Das Integral I = ∫ex·cos(x) dx ist ein gutes Beispiel: Weder ex noch cos(x) verschwinden beim Ableiten oder Integrieren.
Setze zunächst u = cos(x) und dv = ex dx. Dann gilt du = −sin(x) dx und v = ex, also I = ex·cos(x) + J mit J = ∫ex·sin(x) dx.
Für J wählst du u = sin(x) und wieder dv = ex dx. Daraus folgt J = ex·sin(x) − I. Einsetzen ergibt I = ex·(cos(x) + sin(x)) − I, also I = ex·(cos(x) + sin(x))/2 + C.
Der Kniff: Nach zwei Anwendungen steht das ursprüngliche Integral wieder in der Gleichung. Dann wird nicht endlos weiter integriert, sondern I wird auf einer Seite gesammelt und ausgerechnet. Genau diese Rückkehr des Anfangsintegrals solltest du erkennen.
Bei einer inneren Ableitung passt oft die Substitution besser
Ein Produkt allein ist noch kein Grund für partielle Integration. Entscheidend ist, ob die Faktoren zusammen mit einer anderen Regel einfacher werden. Das folgende Gegenüber aus dem Purdue-Kursskript zeigt den Unterschied an typischen Integralen.
| Integral | Passender erster Versuch | Warum |
|---|---|---|
| ∫x·ex dx | Partielle Integration | Die Ableitung von x vereinfacht den Faktor. |
| ∫x·ex² dx | Substitution mit t = x² | Der Faktor x passt zur Ableitung des Exponenten. |
| ∫x·ln(x) dx | Partielle Integration | ln(x) wird beim Ableiten zu 1/x. |
| ∫ln(x)/x dx | Substitution mit t = ln(x) | Die Ableitung von ln(x) steckt bereits als Faktor im Integral. |
Als Entscheidungsregel reicht zunächst: Steht die Ableitung eines inneren Ausdrucks als Faktor daneben, teste die Substitution. Wird ein Faktor durch Ableiten einfacher und lässt sich der andere leicht integrieren, teste partielle Integration. Diese Prüfung spart Zeit, bevor du eine lange Rechnung aufbaust.
Vorzeichen und Restintegral verraten typische Fehler
Ein falsches Vorzeichen fällt bei der Probe oft erst am Ende auf. Wenn du die Schritte kurz festhältst, lässt sich meist schon an der gewählten Zerlegung erkennen, wo die Rechnung kippt.
| Situation | Mögliche Ursache | Was du prüfst |
|---|---|---|
| Das Ergebnis hat ein anderes Vorzeichen als erwartet. | Das Minus vor dem Restintegral wurde übersehen oder ein negatives du falsch eingesetzt. | Schreibe zunächst u·v − ∫v·du vollständig aus und setze erst danach ein. |
| Nach dem Schritt wirkt das Integral schwieriger. | u und dv wurden ungünstig gewählt. | Vertausche die Faktoren oder teste eine Substitution. |
| Das Anfangsintegral taucht wieder auf. | Die Faktoren bleiben unter Ableitung und Integration ähnlich. | Gib dem Integral einen Namen wie I und löse die entstehende Gleichung nach I auf. |
| Bei einem bestimmten Integral fehlt ein Zusatzterm. | Der Randterm wurde ausgelassen. | Setze [u·v]ab ein und berechne den Ausdruck an beiden Grenzen. |
Die Probe durch Ableiten ist besonders bei unbestimmten Integralen zuverlässig: Leite deine Stammfunktion ab und kontrolliere, ob genau der ursprüngliche Integrand entsteht. So findest du auch einen vergessenen Faktor oder ein falsches Vorzeichen, bevor der Rechenweg in deinen Lernzettel wandert.
Ein guter Lernzettel hält die Entscheidung fest
Schreib neben jede Übungsaufgabe nicht bloß die Lösung, sondern auch den Grund für die Wahl von u und dv: „Die Ableitung vereinfacht sich“ oder „Die innere Ableitung ist schon vorhanden“. Beim Wiederholen erkennst du dann das Muster hinter der Rechnung, statt nur eine Formelsammlung auswendig zu lernen.
Wenn du beim nächsten Integral innehältst, beginne mit einer kleinen Frage: Wird das Restintegral leichter? Falls ja, passt die partielle Integration wahrscheinlich. Falls das Anfangsintegral wiederkehrt, sammelst du es algebraisch auf einer Seite; so wird aus dem Umweg ein lösbarer Schritt.
