Vor einer Geometrieaufgabe liegen ein Winkel und zwei Seitenangaben auf dem Blatt, aber die passende Taste am Taschenrechner ist unklar. Sinus, Kosinus und Tangens hängen davon ab, welche Seiten zum markierten Winkel gegeben oder gesucht sind; bei Winkeln über 90 Grad reicht die Dreiecksregel allerdings nicht mehr aus.
Mit dem Winkel und zwei Seiten findest du die passende Funktion
- Sinus: Gegenkathete und Hypotenuse.
- Kosinus: Ankathete und Hypotenuse.
- Tangens: Gegenkathete und Ankathete.
- Rechner prüfen: Gradmaß und Bogenmaß liefern bei derselben Zahl verschiedene Ergebnisse.
Die zwei gesuchten Seiten verraten, ob Sinus, Kosinus oder Tangens passt
Markiere zuerst den Winkel, um den es geht. Die längste Seite gegenüber dem rechten Winkel ist die Hypotenuse; von deinem markierten Winkel aus heißt die gegenüberliegende Kathete Gegenkathete, die anliegende Kathete Ankathete.
Danach brauchst du nur noch die beiden Seiten aus der Aufgabe zuzuordnen. Ich finde diese Reihenfolge verlässlicher, als eine Formel auswendig aufzurufen und erst danach zu überlegen, ob sie passt.
| Seiten im Verhältnis | Funktion | Beziehung |
|---|---|---|
| Gegenkathete und Hypotenuse | Sinus | sin(α) = Gegenkathete / Hypotenuse |
| Ankathete und Hypotenuse | Kosinus | cos(α) = Ankathete / Hypotenuse |
| Gegenkathete und Ankathete | Tangens | tan(α) = Gegenkathete / Ankathete |
Der Winkel entscheidet also mit, was „gegenüber“ und „anliegend“ bedeutet. Drehst du den Blick zum anderen spitzen Winkel, tauschen die beiden Katheten ihre Rollen.
Bei 12° steigt eine 2-Meter-Rampe nur um rund 42 cm
Stell dir eine Rampe vor, die 2 Meter lang ist und mit dem Boden einen Winkel von 12° bildet. Gesucht sind die Höhe am oberen Ende und die waagerechte Strecke am Boden. Weil die Rampenlänge gegenüber dem rechten Winkel liegt, ist sie die Hypotenuse.
Die Höhe liegt dem Winkel gegenüber: Dafür passt der Sinus, also 2 · sin(12°) ≈ 0,416 Meter. Die waagerechte Strecke liegt am Winkel an; mit dem Kosinus ergibt sich 2 · cos(12°) ≈ 1,956 Meter. Derselbe Winkel und dieselbe Rampe liefern zwei verschiedene Seiten, weil sich die gesuchte Seite ändert.
Bei der Hausaufgabe kann die Aufgabenformulierung den Ausschlag geben: „Höhe“ meint hier die Gegenkathete, „Abstand vom Rampenfuß“ die Ankathete. Wenn stattdessen beide Katheten bekannt sind und der Winkel gesucht ist, verwendest du die Umkehrfunktion des Tangens, den Arkustangens.
Der Einheitskreis erklärt auch Sinuswerte bei Winkeln über 90°
„Sinus, Kosinus und Tangens funktionieren nur im rechtwinkligen Dreieck“ klingt plausibel, weil dort die Seitenverhältnisse zuerst eingeführt werden. Für größere oder negative Winkel stößt dieses Bild aber an seine Grenze: Seitenlängen sind positiv, während ein Funktionswert auch negativ sein kann.
Der Einheitskreis löst diesen scheinbaren Widerspruch. Auf dem Kreis mit Radius 1 ist der Kosinus eines Winkels die x-Koordinate des Kreispunkts und der Sinus seine y-Koordinate; im zweiten Quadranten ist x negativ, also ist auch der Kosinus negativ. Der Landesbildungsserver Baden-Württemberg führt die Erweiterung der Dreiecksdefinition auf den Kreis vor.
Der Tangens entspricht auf dem Einheitskreis dem Verhältnis y/x, also Sinus durch Kosinus. Bei 90° ist x gleich null, deshalb ist der Tangens dort nicht definiert. Das ist kein Taschenrechnerfehler, sondern eine Grenze der Funktion.
Mit einem kurzen Rechnercheck vermeidest du falsche Winkel
Ein korrekt gewählter Quotient hilft wenig, wenn der Rechner den Winkel in einer anderen Einheit liest. Steht die Aufgabe in Grad, muss das Gerät auf DEG stehen; bei Bogenmaß ist RAD richtig. Das Material von T³ Deutschland weist außerdem auf die Umkehrfunktionen hin: Für den Winkel aus einem Seitenverhältnis brauchst du etwa sin⁻¹, cos⁻¹ oder tan⁻¹.
| Situation | Wahrscheinliche Ursache | Was du tun kannst |
|---|---|---|
| sin(30) ergibt nicht 0,5, obwohl 30° gemeint sind | Der Rechner steht auf RAD statt DEG | Auf DEG umstellen und den Wert erneut berechnen |
| Der Rechner zeigt einen Seitenwert, obwohl ein Winkel gesucht ist | Du hast sin, cos oder tan statt der Umkehrfunktion verwendet | Die passende Taste für arcsin, arccos oder arctan wählen |
| Der Tangenswert für 90° lässt sich nicht berechnen | Der Tangens ist an dieser Stelle nicht definiert | Prüfen, ob der Winkel wirklich 90° beträgt oder eine andere Funktion gefragt ist |
Ein guter Plausibilitätstest vor der Klausur: Bei einer Eingabe von 30° sollte sin(30°) den Wert 0,5 ergeben. Die Umkehrfunktion ist übrigens nicht der Kehrwert: tan⁻¹ liefert einen Winkel, während 1/tan einen Kehrwert berechnet.
Eine markierte Skizze macht den ersten Rechenschritt leichter
Wenn im Skript drei Formeln dicht nebeneinanderstehen, beginne nicht mit dem Raten. Zeichne das Dreieck, markiere den rechten Winkel und den betrachteten Winkel, beschrifte die Seiten und vergleiche dann die beiden benötigten Größen mit der Tabelle.
So wird aus einer scheinbar austauschbaren Auswahl eine klare Zuordnung. Und falls das Ergebnis nicht zur Skizze passt, prüfe zuerst Winkelmaß und Seitenbezeichnungen, bevor du die ganze Rechnung neu beginnst.
